FACTORIZACIÓN JULIO 16 DE 2014

                                                        FACTORIZACIÓN

CASO 1: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común

Ejemplos : a) 3 a + 5 ab  - 4 ac =   a(3 + 5 b – 4 c)         b) a² + 2 a  = a(a + 2)

                  c) 10 a² – 5 a + 15 a³  = 5 a ( 2 a – 1 + 3 a²)    d) x⁴ + x³  - x² = x²(x² + x – 1)

Ejercicios:  1) 3x²-15    2) 8x³ - 8x² - 16x             3) 3mn³ + 3mn -6m     4) 3x³-9xy+3x²y²-3x²y

5) 3a²b + 6ab – 5a³b² + 8a²bx + 4ab²m        6) 34ax² + 51a²y – 68a y²     7) 4x² – 8x + 2

8) x – x² + x³ – x⁴          9) a² –2a³ + 3a⁴ – 4a⁵ + 6a⁶     10) a²⁰ – a¹⁶ + a¹² – a⁸  + a⁴ – a²

CASO 2: Factor común por agrupamiento de términos

Ejemplos: a) ax + bx + ay + by = (ax + bx) + ( ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (a +b) (x + y)

                 b) 3m² – 6mn + 4m – 8n = (3m² – 6mn) + (4m – 8n) = 3m(m – 2n) + 4(m – 2n)

                                                          = (m – 2n) (3m +4)

  c) 2x² – 3xy – 4x + 6y = (2x² – 3xy) – (4x – 6y) = x(2x– 3y) – 2(2x – 3y) = (2x – 3y) (x-  2)

Ejercicios: 1) 3ax – 3x + 4y – 4ay                2) a² + ab  + ax  + bx      3) am – bm  + an – bn

4) ax – 2bx – 2ay + 4by      5) x² – a² + x – a²x    6) 4a³ – 1 – a² + 4a  7) x + x² – xy² – y²

8) 3a² –7b²x + 3ax –7ab²  9)2am – 2an +2a – m + n – 1  10)3ax – 2by – 2bx –6a +3ay + 4b

CASO 3  Trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplos:

a)     m² + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1) = (m + 1)²  b) 4x² – 20xy + 25y² =(2x – 5y)(2x- 5y) = (2x – 5y)²

c)     1 – 16x² + 64a²x⁴ = (1 – 8ax²)(1- 8ax²) = (1- 8ax²)²  d) x² + bx + b² =(x + b )(x +  b) = (x + b )²

                                                                                                              4            2          2              2

Ejercicios: 1) 9 – 6x + x²      2) a² – 10a + 25     3) 16 + 40x² + 25x⁴     4) 4x² – 12xy + 9y²

5) 9b² – 30a²b + 25a⁴       6)  9a²+6a+1    7) 25m²-70mn +49n²    8) 400x¹⁰ + 40x⁵ + 1

CASO 4: Diferencia de cuadrados perfectos

Ejemplos:     a) 1 – a² = (1 + a) (1 – a)                   b) 16x² – 25y⁴ = (4x + 5y²) (4x – 5y²)

c) 4a² – 9 = (2a + 3)(2a – 3)   d) 25 – 36x⁴ = (5 +6x²) (5 – 6x²)  e) 16 – n² = (4 +n)(4 –n)

Ejercicios: 1) 25y⁶-9        2) 9z²-1     3) 121h² - 144k²      4)      5)

6) 100 – x²y⁶        7) 4x² – 81y⁴       8) 25x²y⁴ – 121       9) 100m²n⁴ – 169y⁶   10) a² – 25

COMBINACIONES DE LOS CASOS 3 Y 4

Ejemplos:

a) a² + 2ab + b² – 1 = (a² + 2ab + b²) – 1 = (a + b)² – 1 = (a+b +1) (a +b – 1)

b)    a² – 2am + m² – 4b² = (a² – 2am + m²) – 4b² =(a – m)² – 4b² = (a – m + 2b)(a –m – 2b)

Ejercicios: 1) a² + 2ab + b² – x²   2) a² – 2a + 1- b²   3) a² + 2ax + x² – 4   4) n² + 6n + 9 -c²

5) 9 –10n + 25 – n²    6) m² – x² – 2xy – y²      7) 9a² – x² + 2x – 1     8) 1 – a² + 2ax – x²

CASO 5 : Trinomio de la forma   x² + bx + c

Ejemplos: a) x² + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)           b) x² + 5x – 14 = (x + 7)(x – 2)

c) y² –8y + 15 = (y – 5) (y – 3)   d) x²– 2x –15=(x – 5) (x + 3)   e)x² – 7x+ 12=(x –3)(x – 4)

 f) x⁴ – 5x² – 50 = (x² – 10) (x² + 5)                     g) x⁶ + 11x³ – 44 =(x³ + 11) (x³ – 4)

Ejercicios: 1) x² – 5x – 14      2) x² – 13x + 40      3) y² – 9y + 20     4) n² – 6n – 40

5) x² – 7x – 30     6) 14 + 5n – n²     7) 21a² + 4ax – x²     8) x⁶ – 6x³ – 7     9) x⁸ + x⁴ – 240

10) x⁴ + 5x² + 4      11) x⁴ + 7ax² – 60a²        12) a⁴b⁴ –2a²b² – 99       13) 48 + 2x² – x⁴

CASO 6 : Trinomio de la forma ax² + bx +c

Ejemplos : a) 6x² – 7x – 3 = (3x + 1)(2x – 3)      b) 20x² + 7x – 6 = (4x +3)(5x – 2)

c) 18a² – 13a – 5 = (18a + 5)(a – 1)                d) 7m² – 23m + 6 = (7m - 2)(m – 3)

Ejercicios: 1) 2x² + 3x – 2       2) 12x² – x – 6        3) 3x² – 5x – 2     4) 8x² – 14x – 15

5) 2x² + 29x + 90       6) 7x² – 44x – 35       7) 9x² + 10x + 1      8) 4x² + x – 33

9) 4x² + 15x + 9         10) 21x² + 11x – 2      11) 9x² + 37x + 4      12) 16m + 15m² – 15

FACTORIZACION DE SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Ejemplos:

 1) a³ + b³ = ( a + b) ( a² – ab + b²)              2) a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

 3) x³  - 8 = ( x – 2) (x² + 2x + 4)                   4) 27x³ + b⁶ = (3x + b²)(9x² – 3xb² + b⁴)

5) 8x³ _– 125 =(2x – 5)(4x² + 10x + 25)    6) 27m⁶ + 64n⁹ =(3m² + 4n³)(9m⁴ –12m²n³ + 16n⁶)